目标：
要了解对称性是人类在自然之上的建构，要区分对称对象和对称性本身，要理解对称性可以被标记，列出并彼此组合，以构造由此活动产生的乘法表的示例，并了解数学的文化背景。
约翰·D·鲍罗（JOHN D. BARROW）的著作：“天空中的PI数，思考和存在”
，小布朗和公司，第
74页，图2.16
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在公元前400年左右的印度，像这样形状的祭坛被用于宗教目的。人们认为，在瘟疫时期，祭坛的大小需要加倍以安神。因此，希望牧师能够弄清楚如何将相对复杂的几何图形的面积增加一倍。（资料来源：天空中的Pi）鉴于将正方形面积扩大一倍这一更为简单的问题以毕达哥拉斯定理的知识为前提（毕达哥拉斯在公元前550年左右写下，但处在截然不同的地方），我们可以看到司铎也是有望成为合格的几何学家。
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数学和宗教互动的另一个例子是曼陀罗-一种用于冥想的设计。这是至少从公元600年开始的，但有些例子可以追溯到公元前12世纪约翰·D·鲍罗（JOHN D. BARROW）的作品：《天空中的PI计数，思考和存在》
，《布朗与公司》，第
76页，图2.17
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在这里，对称性是至关重要的数学元素。随着我们从仅具有双边对称性的中心向具有无限对称性的外圆移动，对称性会增加。相应地，曼陀罗的中心代表秩序和众神的境界，而外部则代表物质世界的混乱。我们不知道曼荼罗是使用公开的，系统的几何知识创建的，还是在数学正规化之前，这是否是艺术家方面的“几何直觉”的一个示例。
诸如曼荼罗之类的物体的对称性可以被认为是其自身中的物体。考虑一个等边三角形，注意它有六个对称性。如果我们标记它们（例如，不同程度的旋转和翻转），则可以对其进行组合并制作一个乘法表，从而为其提供自己的数学结构。
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- 1.您能看到如何将圣坛面积加倍吗？一个简单的正方形怎么样？
- 2.为什么我们要计算“什么都不做”的对称性？
- 3.还有其他不同种类的事物构成吗？
追梦者曼荼罗
数学艺术，路易斯·塔尔曼（Louis A. Talman）
曼荼罗图片来自多佛书。
每个小组有两个曼荼罗，每个透明稿。对于每个步骤，请进行以下练习，并在课堂结束时写下并附上您的名字。包括曼荼罗和透明度的副本。自己保留一份工作副本。
- 1.计算曼陀罗的对称性。
- 2.以帮助您记住对称性的方式标记每个对称性。
- 3.填写这些对称的乘法表。仔细检查！
- 4.对第二个曼陀罗执行相同的操作。
- 5.制作这些副本以自己带回家。您将需要它们来完成家庭作业。
- 6.如果有时间，请完成演讲中的三角练习。上交作业，领取家庭作业的讲义，您可以自由参加。
该作业将于7月1日开课，以粗略形式出现。没有它，您将无法参加课堂活动。最终版本将于7月8日开课！
- （1）为您绘制的两个曼荼罗标记对称性并构造乘法表，就像您在课堂上对日本光学设计所做的一样。现在，您有五个示例，分别针对五个不同的图形（两个类的光学设计，两个类的等边三角形，两个曼荼罗）。在对每个表进行调查的基础上，讨论以下几点：
- （2）对称构成对您的哪个曼荼罗是可交换的运算？也就是说，如果以相反的顺序组成两个对称，那么什么时候得到相同的东西？可交换性如何反映在乘法表的结构中？
- （3）您能从图片本身看出对称性何时发生变化吗？怎么样？最好查看更多示例，例如课堂上其他人所做的示例，以帮助您弄清楚这一点。
- （4）您认为所有此类乘法表应具有什么属性？在这里，您正在对这些对称的性质进行猜想，并且如果可能的话，您应该尝试证明您的猜想是正确的。
- （5）除了上面的练习之外，请上交您要看的五个曼荼罗的施乐复印件以及它们的乘法表。保留原件以备将来使用。